Logaritmen

De logaritme van een bepaald getal x met a als grondtal is de exponent van de macht waartoe je a moet verheffen om het getal x te krijgen.

Stel u heeft het getal 100. U wilt hiervan het logaritme bepalen met grondtal 10. Tot welke macht moet u dit grondtal verheffen om weer het oorspronkelijke getal 100 te krijgen? Het antwoord is in dit eenvoudig voorbeeldje duidelijk: 2. Het getal 2 tot de tweede macht (10²) is immers weer gelijk aan 100, het oorspronkelijke getal. Het getal 2 nu is de logaritme voor het getal 100 met grondtal 10.

Vroeger waren eindeloze logaritmetabellen voorhanden, waarin u voor elk getal de bijbehorende logaritme kon opzoeken.
Tegenwoordig hebben we gelukkig de computer.

Het leuke nu is dat wanneer u de logaritmen van twee getallen bij elkaar optelt, u als uitkomst de logaritme krijgt van het getal die u anders had gekregen wanneer u de twee oorspronkelijke getallen met elkaar vermenigvuldigt.

Hieronder ziet u een logaritmentabel voor de getallen 1 t/m 99 bij het grondtal 10.
Lees de tientallen links van boven naar beneden en de eenheden bovenlangs van links naar rechts.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0,301 0,477 0,602 0,698 0,778 0,845 0,903 0,954
10 1 1,041 1,079 1,113 1,146 1,176 1,204 1,23 1,255 1,278
20 1,301 1,322 1,342 1,361 1,38 1,397 1,414 1,431 1,447 1,462
30 1,477 1,491 1,505 1,518 1,531 1,544 1,556 1,568 1,579 1,591
40 1,602 1,612 1,623 1,633 1,643 1,653 1,662 1,672 1,681 1,69
50 1,698 1,707 1,716 1,724 1,732 1,74 1,748 1,755 1,763 1,77
60 1,778 1,785 1,792 1,799 1,806 1,812 1,819 1,826 1,832 1,838
70 1,845 1,851 1,857 1,863 1,869 1,875 1,88 1,886 1,892 1,897
80 1,903 1,908 1,913 1,919 1,924 1,929 1,934 1,939 1,944 1,949
90 1,954 1,959 1,963 1,968 1,973 1,977 1,982 1,986 1,991 1,995

In deze tabel staat gemarkeerd hoe je log 64 kunt vinden.
Dergelijke tabellen vond je in speciale "Logaritmetafels" met veel grotere tabellen voor veel grotere nauwkeurigheid in complexe rekenbewerkingen.

Merk op dat de log van 64 tweemaal zo groot is als de log van 8.
Kijk ook eens naar 3 en 30, 4 en 40 enzovoort.

Het is niet nodig voor alle getallen de bijbehorende logaritmen in eindeloze tabellen op te sommen. Kijk eens naar het volgende rijtje:

GetalLogaritme
4 0,6021
40 1,6021
400 2,6021
4000 3,6021
40000 4,6021

Wat valt hier op? Wanneer de logaritme voor 10 1 is dan hoeft u slechts een 1, de wijzer, bij de logaritme op te tellen om het tienvoudige (100) te krijgen. En omgekeerd, aftrekken om te delen.
Dit betekent dat een boek met logaritmetafels slechts het gedeelte tussen 0,0001 en 0,9999, dus in feite een lijst mantissen in 1000 regels en tien kolommen, hoeft te bevatten om alle andere getallen via een aanpassing van de wijzer te kunnen afleiden.

De logaritme voor 24 is dus de logaritme voor 2,4 (0,38) plus 1 (= 1,38)

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. Een bekende logaritmische schaal is de decibel om verhoudingen in geluidsterkte aan te duiden. Daarbij betekent 0 dB een verhouding 1, dus gelijkheid. Elke verhoging met 10 decibel betekent een vergroting met een factor 10. Een verhoging met 20 dB betekent dus een factor 100, een verhoging met 30 dB een factor 1000 enz.
Andere voorbeelden van logaritmische schalen zijn de schaal van Richter voor aardbevingen, de cent om frequentieverhoudingen in de muziek weer te geven, de zuurgraad (pH) van vloeistoffen, de magnitudeschaal voor de helderheid van sterren en de eenheid voor filmgevoeligheid, de DIN.

Opbouw van een logaritme

0 , 8451
wijzer mantisse

Het neusje van de grondtallen is tien
Daaraan is de wijzer te zien
In de tafel kan men zich vergewissen
Van de grootte der mantisse.

Willekeurig getal: Logaritme:

Eerste getal Logaritme Klik de + hieronder voor het resultaat
Tweede getal Logaritme

Logaritmes opgeteld: als logaritme van getal

Wijzig de getallen in de rode vakken en herbereken het eindresultaat.

Een illustrerend voorbeeld:

Item Getal Wijzer Genormeerd Mantisse Log-waarde
Uren op een dag 24 1 2,4 0,3802 1,3802
Dagen in een week 7 0 7,0 0,8451 0,8451
Weken in een jaar 52 1 5,2 0,7160 1,7160
Jaren in een eeuw 100 2 1,0 0,0000 2,0000
xx+
Uren in een eeuw 873600 5 8,7 0,9413 5,9413

Deel het getal net zo lang door tien tot het kleiner dan 10 (en groter dan 0) is.
In de wijzer-kolom zien we hoe vaak dit moet gebeuren.
De genormeerde kolom laat het resulterende getal zien, wanneer het oorspronkelijke getal door het aantal tientallen is gedeeld.
De mantisse is de logaritme die we bij dit laatste getal vinden in een logaritmetafel.
De log-waarde is de logaritmewaarde wanneer de wijzer uit de derde kolom vervolgens is bijgeteld.

Op dezelfde wijze kan dit probleem opgelost worden op een rekenliniaal. Hierop voert men de berekening (optelling) in de oranje kolom uit en verplaatst men de komma in het afleesresultaat evenveel posities naar rechts als de wijzer uit de groene kolom aangeeft.

Venster sluiten