Start   Verkennen   Groeimodellen   Eigen onderzoek 

Groeimodellen

Exponentiële Groei Logistische Groei Model van Gompertz

Exponentiële Groei

Exponentiële groeimodellen ken je al: De aanname bij exponentiële groei is dat de toename per tijdseenheid evenredig is met de aanwezige hoeveelheid: een bedrag, of een populatie groeit elk jaar met een vast percentage.
Dat wil dus zeggen dat voor de toename Dp van de populatie p geldt: Dp=a·p. Het getal a wordt de groeiindex genoemd.
Er geldt dus kennelijk:
p(n+1)-p(n)=a·p(n) Þ p(n+1)=(1+a)·p(n). Hierbij is 1+a de groeifactor per periode. Dit groeimodel is niet erg realistisch als we de groei van een bevolking (populatie) of de groei van een dier van jong tot volwassen willen beschrijven: de groei gaat onbeperkt door. In werkelijkheid wordt de groei naar verloop van tijd afgeremd. Men heeft hiervoor een aantal modellen opgesteld.

Logistische groei

De aanname bij logistische groei is dat de toename enerzijds evenredig is met de aanwezige hoeveelheid en anderzijds evenredig is met de afstand tot de zogenaamde capaciteit, het verzadigingsniveau of maximum M.
In formulevorm Dp=a·p·(1-p/M)

1Leg uit dat deze formule klopt met de voorwaarden.
 

2Kies a=0.1 en M=1000
Leid hieruit af dat voor deze waarden van a en M geldt
p(n+1)=1.1p(n)-0.0001(p(n))2

3Maak een Excel spreadsheet bij het logistische groeimodel. Zorg ervoor dat de parameters a, M en p(0) in een drietal cellen bovenin het spreadsheet komen te staan zodat ze gemakkelijk aangepast kunnen worden.

Als a niet te groot wordt nadert p tot M. Als a groot is dan gebeurt hetzelfde als bij exponentiële groei: p neemt onbeperkt toe. Daartussen is een gebied waarin vreemde dingen gebeuren. Een van de mogelijkheden van het eigen onderzoek is een verdere verkenning van de eigenschappen van de logistische groei.

Model van Gompertz

Bij het model van Gompertz is de groeiindex zelf afhankelijk van n. Je kunt je dit zo voorstellen: een dier of een blad groeit gedurende een bepaalde periode. Daarna is de groei "uitgewerkt".
Er geldt dan Dp=a(n)·p(n) met Da=b·a. Dat wil zeggen: a neemt exponentieel toe of af. Het is goed gelukt experimentele gegevens over bladgroei met dit model te beschrijven. Je kunt een onderzoek naar dit model als eigen onderzoek kiezen.