De piramide van Chiops

Om piramides van met grondvlak 6 bij 6 te bouwen starten we met een kubus met ribbe 7.

We zagen van deze kubus drie zijvlakken ter dikte 1 af.

We krijgen dan:

1 kubus met ribbe 6
3 "vierkanten" van 6 bij 6 (1 dik)
3 balken van 1 bij 1 bij 6
1 kubusje met ribbe 1.

De 3 "vierkanten" van 6 bij 6 gaan we gebruiken als grondvlak van 3 piramides.

kuub7
We gaan verder met de kubus met ribbe 6.

We krijgen dan:

1 kubus met ribbe 5
3 "vierkanten" van 5 bij 5 (1 dik)
3 balken van 1 bij 1 bij 5
1 kubusje met ribbe 1

De 3 "vierkanten" van 5 bij 5 vormen de volgende verdieping van 3 piramides.

We gaan zo door:
de kubus met ribbe 5 wordt afgezaagd

de kubus met ribbe 4 wordt afgezaagd

Hiernaast staat de kubus met ribbe 3

Na het zagen krijgen we dan:

1 kubus met ribbe 2
3 "vierkanten" van 2 bij 2 (1 dik)
3 balken van 1 bij 1 bij 2
1 kubusje met ribbe 1

De kubus met ribbe 2 levert:

1 kubus met ribbe 1
3 "vierkanten" van 1 bij 1 (1 dik)
3 balken van 1 bij 1 bij 1
1 kubusje met ribbe 1

De 3 "vierkanten" vormen de top van de drie piramides.

kuub2

De oorspronkelijke kubus met ribbe 7 heeft een inhoud van 7 . 7 . 7=73=343.
Hiervan kunnen dus 3 piramides worden gemaakt met grondvlak 6 bij 6.

We houden dan over:
bij elke keer zagen drie balken met afnemende lengte, én
6 maal een kubusje, én
het laatste kubusje.

Samengevat:

Van een kubus met ribbe 7 kunnen worden gemaakt:
onderdelen
inhoud van de onderdelen
3 Piramides met grondvlak 6 3xPir =3.
6+1 kubusjes7 . 1=7
de balken3.(1+2+3+4+5+6)= 3 .½ . 6 . 7=63help
Totaal343 = 7 + 63 +3.

Dus 3 piramides met grondvlak 6 bij 6 hebben een inhoud van 343-7-63=273.
Een piramide heeft dus een inhoud van 273/3=91.


Nu terug naar de piramide met grondvlak 240.

Starten met een kubus van 241 bij 241 bij 241. Inhoud 2413 = 13997521
Hievan kunnen 3 piramides worden gebouwd.
De balken hebben een inhoud van 3.(1+2+.....+239+240)=3 . ½ .240.241=86760 help
Over blijven 241 kubusjes.

De drie piramides hebben dus een inhoud van 13997521-86760-241=13910520.

Een piramide dus 13910520/3=4636840

Conclusie: =(2413 - 3 . ½ .240.241 - 241)/3= 4636840


Tot slot de formule voor som_1_n i-kwadraat.

We starten met een kubus met ribbe n+1. Inhoud (n+1)3.

Hiervan kunnen we 3 piramides met grondvlak n bouwen.
Over blijven de balken : 3 . (1+2+3+…+n)= 3 . ½ .n.(n+1) help
En ook nog (n+1) kubusjes.

3 piramides hebben dus een inhoud van :

(n+1)3-3 . ½ .n.(n+1)-(n+1)=
(n+1) .( (n+1)2 - 3 . ½ n - 1)=
n+1 buiten haakjes halen
(n+1) . (n2 + 2n +1 - 1½ n -1)=
(n+1)2 uitwerken
(n+1) . (n2 + ½ n)=
samennemen
n .(n+1).(n+ ½)
n buiten haakjes halen

1 piramide heeft dus een inhoud van

Dus =