Inhoud van dit blad

De mensheid heeft in de loop van haar geschiedenis talloze manieren ontwikkeld en gebruikt om getallen te noteren. Wellicht de oudste en zeker de eenvoudigste methode bestaat uit het kerven van streepjes op een stok, waarbij ieder streepje een eenheid voorstelt. Dergelijke kerfstokken zijn al bekend uit de steentijd.
Een degelijke kerfstok werd nog tot in de zeventiende eeuw gebruikt als "een stok die het 'rekenboec' (...) vervangt bij personen die niet schrijven kunnen; de betaling werd door een kerf of insnijding aangeduid, terwijl schuldeischer en schuldenaar elk een stok hadden, die tegelijk gekerfd werden en waarvan dus de insnijdingen nauwkeurig met elkaar moesten overeenkomen, zoodat vervalsching onmogelijk was. Veel op zijn kerfstok hebben, wil derhalve eig. zeggen veel schulden hebben (...)" [Stoett, 1943)

Een al iets meer gevorderde aanpak die nog steeds gehanteerd wordt, is het turven, "waarbij men voor elke eenheid een verticaal streepje zet, en voor elke vijfde een groepje van vier streepjes dwars doorhaalt" (Kruiskamp, 1976).

Van de Romeinen kennen we nog de zogenaamde Romeinse cijfers waarbij de letters I, V, X, L, C, D en M staan voor achtereenvolgens 1, 5, 10, 50, 100, 500 en 1000. Van lieverlee ontstond daarbij het volgende gebruik: Een teken gevolgd door een teken voor een evengroot of kleiner getal, betekent dat de waarden van beide tekens bij elkaar opgeteld moeten worden, terwijl een teken gevolgd door een teken met een grotere waarde aanduidt dat het verschil is bedoeld. Zo staat IX voor 10-1=9 en XI voor 10+1=11

Systemen als dat van Romeinse cijfers, waarbij letters voor getallen staan, waren in de oudheid wijdverbreid. Zo kenden ook de Phoeniciërs, de Hebreeërs en de Grieken dergelijke systemen. Ze hadden twee grote nadelen.

Op de eerste plaats was het rekenen met aldus genoteerde getallen geen kleinigheid. Een eenvoudige vermenigvuldiging was al een karwei voor deskundigen om van delingen maar te zwijgen.

Een tweede nadeel betrof het feit dat het aantal verschillende tekens moest worden uitgebreid naarmate men grotere getallen wilde weergeven. Verhelderend is in dit verband het leuke boekje van Archimedes, waarvan de vertaling is opgenomen in Newman's "The World of Mathematics" als "The Sand Reckoner". Archimedes wilde in dit boekje de misvatting weerleggen dat het aantal zandkorrels op aarde oneindig groot zou zijn of althans groter dan enig bestaand getal. Hij ontwikkelt daartoe een eigen wijze voor het weergeven van grote getallen en hij laat vervolgens zien dat als het gehele heelal gevuld zou zijn met zandkorrels er een getal te vinden is dat zeker groter is dan dat aantal zandkorrels. Voor de berekening van de inhoud van het heelal gaat hij verrassend genoeg - we leven in de derde eeuw voor Christus! - uit van de opvatting van Aristarchus dat de aarde om de zon draait, en hij maakt gebruik van diens berekening van de afstand aarde-zon alsmede van het inzicht dat de "sfeer der sterren" zich op zeer grote afstand van het zonnestelsel moet bevinden aangezien de sterren geen meetbaar verschilzicht {parallax} vertonen bij de jaarlijkse rondgang van de aarde om de zon.

Voor een goed begrip van wat volgt, is het geboden dat u op de hoogte bent van de volgende zaken: Met 10^3 duiden we de derde macht van 10 aan, d.w.z. 10*10*10=1000. Algemener geldt: n^m = n * n * n ... (in totaal m keer n). Bij afspraak geldt n^0=1 voor elke denkbare waarde van n (behalve 0)

Een positiestelsel met grondtal n berust op de mogelijkheid om ieder geheel getal te schrijven als een som van verschillende machten van dat grondtal. We spreken dan van een n-tallig stelsel waarbij we voor n een willekeurig geheel getal groter dan 1 mogen nemen.

Bekijken we om te beginnen eens het ons vertrouwde tientallige stelsel. Het voorbeeld dat Stevin zelf gebruikt, voldoet ook voor ons: het getal 2378 is gelijk aan 2000+300+70+8 en dat is weer gelijk aan 2*10^3 + 3*10^2 + 7*10^1 + 8*10^0

Men ziet gemakkelijk in dat ieder geheel getal van 0 tot en met 9999 op deze wijze louter met de tien cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 kan worden samengesteld. Het eerstvolgende getal na 9999 is 10000 = 1*10^5 + 0*10^4 + 0*10^4 + 0*10^3 + 0*10^2 + 0*10^1 + 0*10^0

Van rechts naar links krijgen we steeds hogere machten van 10. Als uw naam niet toevallig Harrie Mulisch luidt, zult u inzien dat een klein beetje papier ons op deze manier in staat stelt om gigantisch grote getallen uit te drukken. Door zo'n getal vooraf te laten gaan door "1/..." met het grote getal op de plaats van de stippen, kunt u op een A4-tje gemakkelijk een getal uitdrukken dat (veel) kleiner is dan de kans dat we morgen met precies dezelfde mensen in de tram zitten als vandaag. (Deze opmerking verwijst naar een bijdrage van Felix Eijgenraam die enige jaren geleden in de NRC verscheen.)

Kiezen we nu als grondtal niet tien, maar 2 of 16 zoals in rekentuig wel gebruikelijk is, dan kunnen we met twee of 16 verschillende cijfers toekomen. Hieronder zullen we zien dat de Maya's een twintigtallig positiestelsel gebruikten.

Hoewel alle bronnen die ik heb geraadpleegd [Noot 1], het erover eens zijn dat het tientallig positiestelsel en het teken voor de nul van de Indiërs door tussenkomst van de Arabieren tot ons is gekomen, is er veel minder duidelijkheid over de vraag welk volk als eerste een positiestelsel gebruikte.

De Maya's hebben in ieder geval een twintigtallig positiestelsel gekend. Zij kenden slechts drie verschillende tekens:

0: ©
1: .
5: ====

Met behulp van bovenstaande grondtekens werden de cijfers 0 tot en met 19 gevormd. De aldus gevormde twintig cijfers vormden de grondslag voor een twintigtallig stelsel. De getallen werden van boven naar beneden geschreven zoals in onderstaand voorbeeld. Volgens Sanderman (1981) kenden de Olmeken dit stelsel - van wie het door de Maya's werd overgenomen - al voor het begin van onze jaartelling. Daarmee waren ze de Indiërs, aan wie de ontdekking van de nul gewoonlijk wordt toegeschreven, zo'n 500 jaar voor.

Hieronder is weergegeven hoe de Olmeken en de Maya's ons getal 7970819 zouden weergeven:

..     }   2 * 20^5  =  2 * 3 200 000  =  6 400 000

....   }
====   }   9 * 20^4  =  9 *   160 000  =  1 440 000

.      }
====   }  16 * 20^3  = 16 *     8 000  =    128 000
====   }
====   }

..     }
====   }   7 * 20^2  =  7 *       400  =      2 800

©      }   0 * 20^1  =  0 *        20  =          0

....   }
====   }  19 * 20^0  = 19 *         1  =         19
====   }
====   }
                                         ----------- +
                                          7 970 819

Hoewel dit naar alle waarschijnlijkheid het oudste positiestelsel is, heeft het de geschiedenis van West-Europa natuurlijk niet kunnen beïnvloeden, omdat ten tijde van de ontdekking van Amerika, het stelsel van Arabische cijfers al brede ingang had gevonden in Europa.

In Europa vond het tientallige stelsel ingang langs de twee enige plaatsen waar Christendom en Islam met elkaar in aanraking kwamen: Sicilië en Spanje. Volgens Singer (1959) heeft Adelard van Bath (omstreeks 1090 - omstreeks 1150), die op zijn reizen Spanje en Sicilië bezocht, door zijn vertaling van de "Arithmetica" van Al-Kwarizmi de Arabische cijfers in het westen ingevoerd.

De invoering verliep overigens niet probleemloos. Sanderman (1981) vermeldt dat het nieuwe tientallige stelsel in Florence nog in 1300 bij wet werd verboden. Het nieuwe stelsel bood namelijk meer mogelijkheden tot vervalsingen door het aanbrengen van uiterst kleine wijzigingen in schuldbrieven en dergelijke. Een 0 kon immers gemakkelijk in een 6 of een 9 worden veranderd.

Struik (1977) merkt op dat de bruikbaarheid van het tientallige stelsel nog aanzienlijk werd vergroot door de invoering van tientallige breuken. Hij wijst erop dat deze in het oosten al lang bekend waren - zo gebruikt Al-Kashi in de eerste helft van de vijftiende eeuw verschillende kleuren om de cijfers die wij voor en na de komma plaatsen te onderscheiden. - maar het staat buiten kijf dat deze aanpak in Europa brede ingang heeft gevonden door toedoen van Stevins' boekje