Isogonale driehoeken

Wat is een isogonale driehoek?

Een isogonale driehoek is een driehoek die in de basisdriehoek ABC wordt gedefinieerd. Deze driehoek A'B'C' wordt zo geconstrueerd dat: hoek BAC' = hoek B'AC hoek ACB' = hoek A'CB hoek ABC' = hoek A'BC

Perspectief

Het is een bekend feit dat isogonale driehoeken in perspectief zijn met de basisdriehoek. Dat wil zeggen dat de lijnstukken AA', BB' en CC' door één punt P gaan. Dat punt P heet het centrum van perspectiviteit van ABC en A'B'C'..

Er zijn in de loop der tijden heel veel van dergelijke isogonale driehoeken beschreven, en de punten van perspectivitiet zijn bekende driehoekscentra. Hieronder een aantal links naar pagina's, m.n. van Clark Kimberling:

• Aan de buitenkanten van ABC kun je gelijkzijdige driehoeken plakken. Neem je de drie nieuwe hoekpunten, dan vormen die een isogonale driehoek. Het centrum van perspectiviteit heet dan het punt van Fermat. Dit punt wordt ook gebruikt voor de constructie van een regelmatige zeshoek
• Je kunt ook de middens van die gelijkzijdige driehoeken gebruiken, en dan krijg je het punt van Napoleon.
• Heel iets anders krijg je door hoeken A,B en C in drie gelijke hoeken te verdelen met zogenaamde trisectrices. Dit levert volgens de stelling van Morley een gelijkzijdige driehoek op. En deze isogonale driehoek levert natuurlijk ook weer de Morley centra!
• De trisectrice bij de Morley-driehoeken is gegeneraliseerd door D. Hofstadter (bekend van het boek Gödel, Escher, Bach), wat in limiet-situaties twee extra punten, de Hofstadter centra, oplevert.

Vondstje 1

Je kunt van een isogonale driehoek een nieuwe driehoek A"B"C" maken door A', B' en C' loodrecht te projecteren op BC, AC resp. AB. Je krijgt dan de isogonale projectie driehoek.

En deze isogonale projectiedriehoek staat in perspectief met de basisdriehoek ABC. En op deze manier kunnen we dus weer nieuwe bijzondere punten vinden binnen een driehoek. Met de hulp van de stelling van Ceva is het bewijs eenvoudig.

Vondstje 2

Voor vondstje 2 beginnen we met twee willekeurig isogonale driehoeken, A'B'C' en A"B"C". Hiervoor kun je echt elk paar isognale driehoeken nemen! De tweede isogonale driehoek heb ik in het plaatje dus maar eens buiten de basisdriehoek ABC genomen.

We maken nu een nieuwe driehoek A~B~C~ door A'A" te snijden met BC, B'B" met AC en C'C" met AB. Ik noem deze nieuwe driehoek de afgeleide ingeschreven driehoek van de twee isogonale driehoeken waaruit hij is geconstrueerd.

Ook deze afgeleide ingeschreven driehoek blijkt weer in perspectief te staan met ABC. En zo rijgen we weer een heleboel nieuwe punten aan het koord van de driehoekscentra! Het bewijs is het best te doen met behulp van vergelijkingen van driehoekscoördinaten.

Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.