De porisme-cirkels
De middencirkel van twee cirkels is de cirkel die door inversie deze twee cirkels op elkaar afbeeldt. Voor achtergrondinformatie, zie de middencirkel van Dick Klingens.
Deze inversie beeldt ook de zijden van ABC af op cirkels. Deze cirkels noemen we de porisme-cirkels.
English version of this page
Porisme van Poncelet
De term "porisme van Poncelet" verwijst naar de (beperkte) sluitingsstelling van Poncelet. Kortgezegd komt die er op neer dat bij een gegeven driehoek met omgeschreven en ingeschreven cirkel er oneindig veel andere driehoeken zijn met dezelfde ingeschreven en omgeschreven cirkel. Elk punt van de omgeschreven cirkel is hoekpunt van zo'n driehoek.
Zie bijvoorbeeld Om- en incirkel van Dick Klingens.
Inversie in de middencirkel van ingeschreven en omgeschreven cirkel brengt de zijden van de driehoek over in een drietal cirkels die elk raken aan de omgeschreven cirkel en elkaar snijden op de ingeschreven cirkel. Ik noem ze doe porisme-cirkels. Zij zijn als het ware het cirkel-equivalent van de poristische driehoeken.
- Het middelpunt van de middencirkel is het binnenste
gelijkvormigheidspunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkel, in Kimberling's ETC
X55.
Dit punt ligt op de lijn door O (middelpunt omgeschreven cirkel) en
I
(middelpunt ingeschreven cirkel). Dit is ook het gezamenlijke punt van de porismecirkels en het snijpunt van de verbindingslijnen van de hoekpunten
van ABC en de snijpunten die op de ingeschreven cirkel liggen.
- De verbindingslijnen van de raakpunten van de porismecirkels naar de
hoekpunten van ABC snijden elkaar in een punt op de lijn OI, in Kimberling's ETC
X57.
- Zijn R en r de stralen van omgeschreven cirkel en ingeschreven cirkel en
RA, RB en RC de
stralen van de porismecirkels, dan hebben we de volgende vergelijking:
.
- In het bijzonder geldt
.
- De driehoek KAKBKC is
perspectief met ABC. De perspector is
X955 in Kimberling's ETC.
Als we een andere driehoek vinden nemen met de zelfde ingeshreven en
omgeschreven cirkel, dan blijven X55 en X57 ongewijzigd.
Met dank aan Peter Moses voor zijn hulp bij deze resultaten.
Back to Floors wiskunde pagina (in Dutch).
Home.